Soldati - Somme infinite

“Ma dai, figuriamoci se qualcuno ha pensato sul serio che Achille non fosse in grado di raggiungere e superare la tartaruga”.

“A parte i miei studenti, intendi? Che dopo che io ho raccontato la storia mi chiedono sempre se è proprio vero che Achille non ce la fa a vincere la gara di corsa?”.

“Eh, sì”.

“Bè, la descrizione del paradosso viene da Zenone di Elea, un filosofo greco. In effetti i greci ne dovevano sapere di gare di corsa”.

“Appunto. E quindi? Perché tutta questa storia?”.

“La storia serve per fare capire che non è così semplice parlare di somme infinite”.

“In che senso?”.

“Nel senso che la descrizione fatta dalla signorina Tartaruga è giusta, dopotutto. Achille deve davvero percorrere tanti piccoli pezzi, se ogni volta vuole raggiungere la posizione in cui si trovava la tartaruga precedentemente. Naturalmente impiegherà sempre meno tempo, e a un certo punto raggiungerà e sorpasserà la tartaruga. Il fatto è che, se vogliamo seguire la descrizione del moto fatta dalla signorina Tartaruga, dobbiamo sommare infiniti segmenti sempre più piccoli, e anche infiniti istanti di tempo sempre più piccoli. E non è ovvio il modo in cui possiamo farlo, come spiega il paradosso”.

“Uhm, comincio a capire. Quando si ha a che fare con gli infiniti ci sono sempre dei problemi”.

“Esatto. Pensa a questa somma:”.

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

“Quando mi fermo?”.

“Mai”.

“Ah. Sommo tutte le frazioni con denominatori del tipo 2ⁿ. Sono numeri sempre più piccoli, però sono anche infiniti”.

“Già. E la domanda a cui è difficile rispondere è questa: quanto risulta?”.

“Boh? Come si fa a saperlo?”.

“Prova a guardare questa figura:”.

“Che roba è?”.

“È un segmento lungo due unità. Noterai che è stato diviso in tanti segmenti più piccoli”.

“Vedo”.

“Partiamo da sinistra. Il primo segmento che vedi è la metà del totale”.

“E quindi è lungo una unità”.

“Giusto. Il puntino che si vede è proprio il punto medio del segmento grande. Se osservi bene, la metà di destra è stata divisa ulteriormente a metà da un altro puntino”.

“Sì, e mi pare anche che ogni metà di destra sia divisa ulteriormente a metà. A un certo punto i pallini sono così vicini che non si capisce più niente”.

“Non si capisce, in effetti, ma possiamo pensare che questo procedimento di dividere a metà la metà di destra non abbia mai fine”.

“Ok, i segmenti contengono infiniti punti”.

“Bene, ora ti domando: quanto sono lunghi questi segmenti?”.

“Dunque, abbiamo detto che il primo è lungo una unità, cioè 1. Il secondo è lungo la metà di 1, cioè 1/2. Il terzo è la metà del secondo, cioè 1/4. Poi ci sarà 1/8, 1/16... Ho capito, è una rappresentazione grafica della somma infinita che mi hai scritto prima”.

“Esatto. Ora puoi calcolare il risultato di quella somma infinita, anche se in modo non del tutto rigoroso”.

“E come faccio?”.

“Ti basta vedere quanto è lungo il segmento”.

“Ah, già. Il segmento è lungo due unità. Vuol dire che quella somma di infiniti termini ha come risultato 2?”.

“Sì. Puoi interpretare il disegno come il percorso fatto da Achille. Ogni volta deve correre lungo un tratto che è sempre più breve, ma alla fine riuscirà a raggiungere la tartaruga e a sorpassarla”.

“Ho capito. Ma si riesce anche a dimostrare in modo rigoroso che il risultato è proprio 2?”.

“Sì, ma bisogna sviluppare una teoria complicata, che richiede l'uso dei limiti. I Veri Matematici chiamano serie geometrica quella somma infinita. Noi possiamo fare qualche calcolo, anche se non del tutto rigoroso”.

“Proviamo”.

“Allora, la somma che vogliamo calcolare è la seguente:”.

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = x.

“Ok, hai indicato con x il risultato che vogliamo trovare”.

“Sì. Quella somma può anche essere scritta in questo modo:”.

1 + 1/2(1 + 1/2 + 1/4 + ...) = x

“Uhm, va bene, anche se non capisco bene il motivo di questa complicazione”.

“Osserva bene ciò che è scritto dentro alla parentesi. Non noti niente?”.

“Bè, è una somma infinita anche quella... Un momento, è proprio la somma che vogliamo calcolare! Uffa, non mi abituerò mai a questi paradossi”.

“Già, è qui che la dimostrazione diventa poco rigorosa. Per fare le cose per bene dovremmo prima utilizzare delle somme finite, e poi fare il limite. Ma siccome i limiti sono difficili, ci accontentiamo”.

“Va bene, va bene. Ora che facciamo?”.

“Ora, dato che hai visto anche tu che quella che è dentro alla parentesi è proprio la somma che vogliamo calcolare, e dato che a quella somma noi abbiamo dato il nome di x, facciamo una sostituzione:”.

1+ 1/2 x = x.

“Uhm, mi pare che questo si possa definire Trucco Ignobile”.

“Lo è, infatti. Ma prova a calcolare x”.

“Questo è facile, viene x = 2. Ehi, è proprio il calcolo che avevamo fatto prima guardando il segmento!”.

“Esatto. Questa tecnica, anche se farebbe inorridire un Vero Matematico, può essere usata per calcolare il risultato di altre somme infinite. Possiamo usarla per tutte le serie geometriche convergenti”.

“Spiega, spiega”.

“Invece di prendere le potenze di 1/2, prendiamo le potenze di un generico numero q”.

“Va bene, in questo caso la tua somma dovrebbe diventare così:”.

1 + q + q² + q³ + ... = x.

“Bene. Riesci a fare la trasformazione che ho fatto prima?”.

“Se non sbaglio, è questa:”.

1 + q(1 + q + q² + q³ + ...) = x

“Vero. Hai notato che all'interno della parentesi c'è ancora x?”.

“Ah, giusto. Allora posso scrivere questo:”.

1 + qx = x

“E, se risolvi l'equazione, cosa ottieni?”.

“Ottengo che x = 1/(1 - q)”.

“Molto bene. Questo è il risultato della somma di infinite potenze di q. Hai calcolato la somma di una serie geometrica, di cui q viene detta ragione”.

“E perché dici che questo procedimento non è rigoroso? Non funziona sempre?”.

“Prova a calcolare il risultato della somma infinita quando q è uguale a 2”.

“Cioè dovrei calcolare il risultato di questa espressione?”.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...

“Già, una serie geometrica di ragione 2”.

“Secondo la formula viene 1/(1-2). Oh oh, risulta -1”.

“Ti pare possibile che la somma di infiniti numeri positivi, sempre più grandi, dia come risultato un numero negativo?”.

“Eh, no”.

“Ecco spiegato il motivo. Quel risultato vale solo quando la serie converge, cioè quando q è minore di 1 (se usiamo anche i numeri negativi, allora q deve essere compreso tra -1 e +1, ma se vogliamo stabilire chi vince la gara di corsa tra Achille e la Tartaruga non abbiamo bisogno di numeri negativi)”.