Verso l'infinito, ma con calma - le dimensioni non contano

Abbiamo chiamato con c (c gotico) la cardinalità dell'insieme dei numeri reali, e abbiamo visto che è maggiore di quella dei numeri naturali. Dato che i numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, che ha dimensione uguale a 1, si potrebbe pensare che la cardinalità del piano sia maggiore di c, visto che il piano ha dimensione 2. E invece no.

“Puoi naturalmente dimostrare questa affermazione, vero?”.

“Certo”.

“E sarà una cosa complicatissima”.

“No, questa è facile. Per prima cosa, invece di confrontare la retta con il piano, confrontiamo il segmento [0,1) con il quadrato [0,1)×[0,1)”.

“Quello sarebbe un quadrato?”.

“I Veri Matematici lo chiamano prodotto cartesiano, ma è semplice: è l'insieme delle coppie i cui elementi appartengono a [0,1). In pratica è un quadrato, i cui punti hanno coordinate comprese tra 0 e 1, 0 incluso e 1 no”.

“Va bene. Ora costruirai una corrispondenza biunivoca tra il segmento e il quadrato?”.

“No, prima costruisco una funzione iniettiva che immerge il segmento nel quadrato, poi un'altra funzione iniettiva che immerge il quadrato nel segmento”.

“Ok. Il primo caso è semplice, non è difficile immergere un segmento in un quadrato”.

“Bene, come faresti?”.

“Ad ogni punto del segmento associo un punto sulla base del quadrato, per esempio”.

“Bravo. A x associ (x,0), ed è fatta. La funzione è iniettiva, a due x diversi corrispondono due coppie diverse”.

“Sì. Non riesco invece a immaginare come fare per l'operazione contraria”.

“Si fa così: prendi un punto del quadrato, e indicalo con (x,y)”.

“Bene, sia x che y sono compresi tra 0 e 1, 0 incluso e 1 no”.

“Ora scrivili sotto forma di numeri decimali, così:”.

x = 0.x₁x₂x₃...
y = 0.y₁y₂y₃...

“Uhm, e se i numeri sono decimali finiti?”.

“Vorrà dire che da un certo punto in poi la successione delle cifre decimali sarà sempre uguale a 0”.

“Va bene. Accettiamo il periodo 9?”.

“No, quello no”.

“Ci sono. Ora che facciamo?”.

“Ora costruiamo questo numero: 0.x₁y₁x₂y₂x₃y₃...”.

“Alterni le cifre decimali?”.

“Già. Hai visto che abbiamo ottenuto un punto del segmento [0,1)?”.

“Vedo. Mi pare di aver capito, però, che la funzione debba essere iniettiva, altrimenti non funziona”.

“Giusto. Hai capito perché non funziona?”.

“Perché se non uso una funzione iniettiva, potrei far corrispondere a tutti i punti del quadrato anche un solo punto, chessò, 42”.

“Bravo. La funzione f(x,y) = 42 comprime il quadrato in un punto, ma non è iniettiva e non può essere usata per i calcoli di cardinalità, naturalmente”.

“Ho capito. E questa funzione che alterna le cifre decimali è iniettiva?”.

“Sì, perché se prendi due punti diversi nel piano questi differiranno in almeno una coordinata, e quindi almeno una delle due espansioni decimali cambierà”.

“Ah, giusto, e allora cambierà anche il numero che otterrai alternando le cifre decimali. Quindi la tua funzione è iniettiva dal quadrato al segmento”.

“Sì, addirittura qualche punto del segmento viene lasciato fuori”.

“Uh? Quali punti?”.

“Per esempio, il punto che corrisponde a 0.190919091909...”.

“Fammi capire, questo punto sarebbe generato da 0.101010... e da 0.999999... Ah, ho capito, avevamo detto di non considerare il periodo 9. Bè, ancora meglio, siamo riusciti a immergere il quadrato in un sottoinsieme del segmento”.

“Proprio così. Allora, applicando il teorema di Cantor-Bernstein-Schröder, possiamo dire che quadrato e segmento hanno la stessa cardinalità. E quindi anche retta e piano, naturalmente”.

“Bello. E quindi esistono solo due cardinalità, ℵ₀ e c?”.

“Oh, no. Ricordati che abbiamo dimostrato che 2^α è sempre maggiore di α, e dunque puoi costruire una sequenza di cardinali sempre più grandi così come abbiamo fatto quando siamo passati da ℵ₀ a 2^ℵ₀”.

“Facendo l'insieme delle parti, quindi?”.

“Certo. Se consideri l'insieme delle parti dei numeri reali, questo avrà cardinalità 2^c, cioè 2^2ℵ₀”.

“Ah, quindi possiamo salire sempre di più, quanto vogliamo”.

“Già”.

“Un po' come contare gli infiniti con i numeri naturali”.

“Ecco...”.

“Un momento!”.

“Ahia”.

“E se non fosse come con i numeri naturali?”.

“Ahi ahi”.

“Magari c'è qualcosa in mezzo tra ℵ₀ e 2^ℵ₀?”.

“Ohi ohi”.

“Ti sei fatto male?”.