Carnevale della Matematica #155 — Mengentheoretische Betrachtungen über das Schachspiel

Una partita a scacchi è patta se una determinata sequenza di mosse, con i pezzi tutti nella stessa posizione, viene ripetuta per tre volte consecutive.

Machgielis Euwe, detto Max, era un matematico olandese. Nato nel 1901 a Watergraafsmeer, un polder olandese, e morto nel 1981 a Amsterdam, ha studiato matematica e giocato a scacchi, non sempre distinguendo le due attività.

Era allievo di Weitzenböck, capitano dell'esercito austro-ungarico e matematico, e di Brouwer, quel Brouwer, il matematico olandese fondatore della scuola intuizionistica. I due erano amici, tanto che Euwe pronunciò l'orazione funebre durante il funerale di Brouwer.

Euwe è stato il quinto campione mondiale di scacchi, è stato presidente della FIDE, e ha pubblicato molti articoli e libri sul gioco degli scacchi, dei quali ne ricordiamo uno, dal titolo meravigliosamente tedesco: Mengentheoretische Betrachtungen über das Schachspiel, cioè Considerazioni teorico-insiemistiche sul gioco degli scacchi.

Ma quella regola sulla patta, con la ripetizione per tre volte consecutive della stessa posizione, sarà stata formulata correttamente?, si è domandato Euwe. Quella regola ci assicura che così tutte le partite avranno durata finita? Che non si possa andare avanti per sempre?

Due giocatori di scacchi potrebbero muovere i loro pezzi avanti e indietro senza combinare niente, producendo una partita infinita, e molto noiosa. Però, dato che il numero di posizioni sulla scacchiera è finito, prima o poi succederà che si ottenga una sequenza di mosse già vista in precedenza. E poi magari la si otterrà una terza volta: a quel punto la partita termina, senza la vittoria di nessun giocatore.

Axel Thue era un matematico norvegese, che lavorava nel campo delle approssimazioni diofantee e del calcolo combinatorio. Non risultano molti suoi lavori, almeno su Wikipedia, ma c'è una curiosità interessante che possiamo riportare: lo strano linguaggio di programmazione Thue è stato chiamato così in suo onore. Il linguaggio è strano perché, e qui cito le parole di Thue, è una pozza di catrame, come dicono gli informatici inglesi (gli italiani direbbero che se lo si prova a usare ci si impantana in fretta). Anche se è un linguaggio Turing-completo, non permette di fare facilmente le operazioni più comuni. Vabbé, pazienza.

Harold Calvin Marston Morse era un matematico americano, famoso per un libro da lui scritto intitolato Calculus of variations in the large, in cui ha introdotto la tecnica di geometria differenziale che oggi si chiama Teoria di Morse, sulla quale ha lavorato quasi esclusivamente durante tutta la sua attività accademica.

Thue e Morse, però, sono anche famosi perché hanno scoperto la successione che porta il loro nome, e che si costruisce secondo le seguenti regole:

• servono due simboli, diciamo 0 e 1,
• si parte da 0,
• si prende la successione scritta al passaggio precedente, si invertono i due simboli e li si ricopiano a fianco della precedente,
• si ripete il passaggio precedente finché si vuole.

Ecco un esempio dei primi termini di questa successione:

0
01
0110
01101001
0110100110010110

Cos'ha di speciale questa successione? Se poteste chiederlo a Max Euwe, lui risponderebbe che è notevole perché gode di questa proprietà: sceglietene un pezzetto lungo quanto volete, formato da cifre contigue, come per esempio 110, e provate a scorrere la successione andando avanti. A seconda di come lo scegliete, quel pezzetto potrebbe ricomparire, eventualmente doppio (cioè seguito da una copia di sé stesso), ma mai tre volte di seguito.

Quanto Euwe è venuto a conoscenza di questa proprietà, si è detto ah-ha!, ma allora quella regola sulla patta nelle partite di scacchi forse non funziona come ci si aspetta. Forse riesco a trovare una sequenza di mosse che funzionano come gli 0 e gli 1 nella successione di Thue-Morse, e se ci riesco allora posso creare una partita a scacchi infinita, che la regola sulla patta non riesce a bloccare.

Servivano mosse ripetibili, naturalmente, e Euwe ha pensato ai cavalli. Immaginiamo di dividere in due parti la scacchiera, secondo un taglio verticale (lui l'avrà detto in termini scacchistici più rigorosi, immagino). Alle quattro colonne di "sinistra" associamo il numero 0, alle quattro colonne di "destra" associamo il numero 1. Poi creiamo una partita secondo la successione di Thue-Morse in questo modo: se nella posizione corrente c'è uno 0, il giocatore di turno muoverà il proprio cavallo che si trova nella colonna di sinistra, se invece nella posizione corrente c'è un 1, il giocatore di turno muoverà il proprio cavallo che si trova nella colonna di destra. I cavalli non devono andare in giro per la scacchiera, però: tanto per fare un esempio, il cavallo bianco di sinistra potrà occupare solo le caselle b1-c3: se si trova in b1 andrà in c3, se si trova in c3 andrà in b1. Se si segue la successione di Thue-Morse, allora si potrà creare una partita noiosissima ma per la quale nessuna sequenza di mosse, con i pezzi tutti nella stessa posizione, sarà ripetuta per tre volte consecutive.

Euwe ha pubblicato questa sua scoperta nel 1929, e ora le regole sono cambiate.

La successione di Thue-Morse può essere definita anche direttamente, e non in modo ricorsivo. Se numeriamo le posizioni delle cifre a partire da 0, allora per scoprire quale cifra occuperà la posizione n basterà contare quante cifre 1 compaiono nella rappresentazione binaria del numero n: se il numero di cifre 1 è pari, allora la cifra in questione sarà 0, se invece il numero di cifre 1 è dispari, allora la cifra sarà 1.

Conway, che in queste cose ci sguazzava (altro che pozza di catrame), ha definito odiosi i numeri la cui rappresentazione binaria contiene un numero dispari di cifre 1 — introducendo un gioco di parole intraducibile in italiano: in inglese dispari si dice odd, e odioso si dice odious. Ha anche definito malvagi i numeri la cui rappresentazione binaria contiene un numero pari di cifre 1 — introducendo di nuovo un gioco di parole: in inglese pari si dice even, e malvagio invece si dice evil.

Ora, se andiamo a leggere le caratteristiche del numero 155 su Wikipedia, oltre alle solite proprietà che non interessano a nessuno troviamo anche elencato il fatto che è un numero odioso, perché in binario si scrive come 10011011, rappresentazione che contiene un numero dispari di cifre 1. Dunque, la cifra in posizione 155 della successione di Thue-Morse è un 1. Il fatto che 155 sia il numero ordinale del Carnevale della Matematica di questo mese non è un fatto puramente casuale, naturalmente.

“E tu hai raccontato tutta questa storia solo per nominare i numeri odiosi?”.

“Certo”.

“Ma roba da matti”.

“Ora non potrai più dimenticare i meravigliosi numeri odiosi e malvagi. E sai anche quando una partita di scacchi termina in parità”.

“Veramente no, hai parlato solo della regola vecchia”.

“Ah, ops, già. Ma la regola nuova ha un sacco di codicilli, secondo me nemmeno i giocatori la conoscono alla perfezione. Comunque la si può trovare sul sito della FIDE. Ma la possiamo leggere in un altro momento: adesso, per iniziare il Carnevale della Matematica, ti propongo un quesito scacchistico. Proviene direttamente dai Rudi Mathematici, che con questo contributo possono con ragione affermare di aver rispettato il tema del Carnevale, come del resto fanno sempre”.

“Ma come, il bianco vince? Con così pochi pezzi?”.

“Prova, e vedrai. Ma è ora di iniziare il Carnevale, ricordando un'altra proprietà di 155: si fattorizza come 5×31, e dunque il verso corrispondente della poesia Gaussiana è nero tra i cespugli”.

“Anche questa cosa della poesia Gaussiana, mah”.

“Cosa ci vuoi fare, i matematici sono così, un po' artisti, un po' poeti, un po' giocatori. Abbiamo anche la cellula melodica”.

“A tema scacchistico?”.

“Beh, naturalmente puoi interpretare l'intervallo di un semitono con il movimento di un pedone…”.

“Ma dai… Cominciamo, vah, che è meglio”.

E cominciamo da Leonardo Petrillo, che ha scritto Navillera: quando la passione oltrepassa le difficoltà della vita, i tabù e la normalità. Si tratta della recensione di un'intensa serie tv sudcoreana del 2021 intitolata Navillera. Nel mezzo della recensione vengono compiute riflessioni su importanti temi sociali, ma nell'analisi ci si riferisce anche al mondo della matematica e della scienza. Si parla anche di Squid Game, e quindi di giochi, e quindi siamo quasi in tema con il Carnevale (che, come avrete notato, parlerà di scacchi — oppure no, il Carnevale della Matematica è famoso per aver un tema che nessuno rispetta). Poi, magari nella prossima stagione di Squid Game si giocherà a scacchi, e quindi questo Carnevale potrebbe essere visto come un'anticipazione. Chissà.

Ora tocca ai Rudi Mathematici, e dato che l'ordine di pubblicazione qui coincide con l'ordine di arrivo, possiamo dire che non sono stati gli ultimi. E non perché io sappia in anticipo che qualcun altro manderà qualcosa prima della scadenza, ma perché questa volta sono stati proprio i primi, mandando il quesito scacchistico di apertura. Primi, e in tema. Che roba.

Ma per essere sicuri, come prima cosa propongono un post di cinque anni fa: 24 Dicembre 1868 – Buon compleanno Emmanuel!; in realtà, come sempre, il post sul blog è un derivato dell’articolo già pubblicato sulla Prestigiosa Rivista: Il re del gioco dei re, in RM168, dicembre 2012. L’articoletto discetta un po’ su coloro che hanno portato nel tempo la corona del regno scacchistico, giusto per poter bassamente insinuare che il più grande di tutti, GOAT insomma, non sia altro che un matematico. Non prendiamo in considerazione il ragazzotto norvegese che, sicuramente, quando il Carnevale uscirà avrà ribadito urbi et orbi che quella corona è sempre più saldamente incastrata sulla sua capoccia, ma a noi (sono i RM che parlano, naturalmente, non ho ancora iniziato a usare il plurale maiestatis, e hanno previsto correttamente la vittoria del giovane norvegese) che ce ne importa? Siamo faziosi come majorette, in casi come questi.

Vediamo altri post, meno scacchistici dei precedenti:

• Magnifico Eulero è un Paraphernalia, come tale scritto direttamente dal GC, che parte da una foto satellitare molto sgranata relativa al terremoto in Emilia Romagna per finire a parlare prima di Eulero e poi di Fourier.
• Il mistero di Ravensdene Park se ne sta bello bello a rappresentare il nuovo capitolo della rivisitazione che, ormai da un bel po’, i RM fanno dei problemi di Dudeney. In questo caso specifico, il problema proposto è pure un giallo, perché c’è un morto ammazzato e bisogna trovare l’assassino, manco i lettori fossero tutte Jessica Fletcher o il Tenente (Frank) Columbo.
• Come ogni fine mese (ritardi a parte) parte sul blog il post dedicato alla risoluzione del problema pubblicato su “Le Scienze”. Questa volta è toccato a “Ricordi in cantina”, che però non è per niente la cantina buia dove noi respiravamo piano. È solo una cantina piena di cianfrusaglie, polvere, ragni e probabilmente ratti. E sì, anche di un malridotto mazzo di carte, che genera un problemino non troppo complicato.
• Il titolo originale di questo “Buon compleanno Leopold!” era in realtà “Aramis”, perché – che ci si creda o meno – Leopold Kronecker riesce abbastanza bene a fare la parte di quel moschettiere. E sì, certo, che domande… ci sono anche gli altri, di moschettieri.
• A questo punto mancherebbe solo “…e per Queneau?”, notevole Paraphernalia Mathematica uscito dalla tastiera del GC che si è lasciato andare su afflati poetici quando ha visto lo spiraglio che gli consentiva di mettere insieme due sue grandi amori: la matematica e i troubadours. Il condizionale usato all’inizio dipende solo dal fatto che l’uscita del suddetto PM è prevista proprio per il 14, data di uscita del Carnevale, e il link è ancora muto e pericolosamente pieno di puntini di sospensione. Speriamo funzioni tutto.
• Di solito l’elenco dei contributi dei Rudi Mathematici si chiude dicendo cose del tipo “ci sarebbe poi il numero di RM, ma ancora non è pronto, e…) ma stavolta possiamo invece evitare la solita solfa. RM275 è incredibilmente uscito, anche se monco della parte più significativa, le “Soluzioni&Note”. Colpa del povero Piotr, che ci ha messo troppo a scrivere il compleanno di Novembre, e poi ha accelerato a Dicembre, togliendo ai lettori la possibilità di risolvere i quesiti novembrini. Ed è sempre colpa sua (o merito suo?) se questa volta l'elenco dei contributi dei RM non è l'ultimo. Dunque, bene così.

Veniamo a .mau., che sul Post ha scritto No, l’Ipotesi di Riemann non è ancora stata risolta dove ha commentato il lancio di agenzia poi ritirato sulla presunta "soluzione" di uno dei problemi irrisolti più importanti della matematica, e Vaccinarsi aumenta la probabilità di contagiare?, dove racconta cosa si potrebbe fare per vedere davvero se quell'affermazione è vera o falsa.

Sulle Notiziole i quizzini: Contro la parascevidecatriafobia, Pentacolo e triangoli, Il calciatore insaziabile, Da che parte gira il disco?, Chi volete aiutare?.

Per le recensioni, Giochi di ingegno per esercitare il cervello di Jaume Sués Caula, problemi classici con un'ambientazione però spesso nuova (e purtroppo alcuni errori di traduzione); Il grande libro degli enigmi matematici di Sylvain Lhullier, ottimo per ragazzi (l'ha persino apprezzato Cecilia che snobba queste cose e, soprattutto, contiene una scacchiera); AI Assistants dell'amico (di .mau.) Roberto Pieraccini, con la matematica che spunta spesso per spiegare come funzionano Alexa e amici; 24 ore con un matematico di Giovanni Sebastiani (che però è laureato in fisica…) che mostra come un matematico non è poi così alieno rispetto a quello che succede.

Nella sezione "matematica light" c'è Fibonacci Day, che parla appunto del giorno dedicato al matematico pisano.

Infine sugli Archivi di .mau. c'è [TESTI] I numeri nella Bibbia dove riporta il testo che ha scritto come ausilio agli insegnanti per il concorso omonimo dell'associazione Biblia.org.

Ora è il turno dei MaddMaths! Sembrerebbe difficile trovare almeno un post legato agli scacchi, ma non è così. Troverete un articolo sulla differenza di genere in matematica, che porta a farsi un po' di domande (e anche a cercare delle risposte, per quanto possibile): perché le ragazze hanno risultati migliori in ambito scolastico ma risultati peggiori nelle prove INVALSI? Perché nelle gare di giochi matematici troviamo poche ragazze, tanto che per incentivarne la partecipazione l'UMI organizza gare femminili? Sapevate che la FIDE, oltre al campionato mondiale, organizza anche un campionato mondiale femminile, che si disputerà tra poco?

• Lettera (accorata) alla Ministra dell'Università e al Ministro dell’Istruzione sulla formazione insegnanti. Pietro Di Martino, didattico della matematica, rivolge un appello ai ministri Messa e Bianchi sulla necessità di fornire un percorso adeguato di formazione agli insegnanti di scuola secondaria, che da troppi anni è assente nel nostro paese. Abbiamo anche attivato una petizione per sostenere questo appello.
• Un altro passo verso l'ipotesi di Riemann (che no, non è stata dimostrata). Una delle più grandi sfide della matematica è senza dubbio la cosiddetta ipotesi di Riemann. Il “sacro Graal” della matematica, che, più realisticamente, è ritenuto il più importante problema aperto della matematica, impegna studiosi di tutto il mondo da 150 anni, ossia da quando, nel 1859, Bernhard Riemann ne formulò la prima versione. Qualche giorno fa i media hanno riportato che un articolo recentemente pubblicato avrebbe "risolto" questo problema. Ovviamente le cose non stavano così e potete leggere il commento di Alessandro Zaccagnini che pochi giorni dopo ha pubblicato un approfondimento, spiegando in dettaglio di cosa si trattava: Una passeggiata aleatoria ci porterà sulla vetta della Congettura di Riemann?
• INVALSI e differenze di genere. Chiara de Fabritiis, coordinatrice del comitato pari opportunità dell’UMI, intervista il dottor Roberto Ricci, statistico bolognese e presidente dell’INVALSI, che ci parla delle differenze di genere, soprattutto in ambito STEM. Di particolare interesse il fatto che le ragazze nelle prove INVALSI ottengono risultati peggiori, ma a scuola hanno voti migliori, una questione su cui vale la pena di interrogarsi.
• La matematica del colore - la serie di MaddMaths!. La sensazione di colore è frutto di una lunga evoluzione e la sua modellizzazione matematica, completa o parziale, rimane ancora un problema aperto. Edoardo Provenzi, professore all’Université de Bordeaux, ci guida in un sorprendente percorso, lungo più di tre secoli, ricostruendo le tappe fondamentali dello studio matematico del colore, terminando con un racconto del suo particolare cammino scientifico. Tutte le puntate della serie le trovate su questa pagina.
• Intervista con Lorenzo Pareschi. Lorenzo Pareschi è professore ordinario di analisi numerica presso l’Università degli Studi di Ferrara. Marco Menale lo ha intervistato per parlare di modelli matematici, aspetti computazionali e sfide future.
• È online la piattaforma gratuita del progetto “MaMa – Matematica per la scuola elementare”. È ora online la piattaforma gratuita del progetto del Canton Ticino “MaMa – Matematica per la scuola elementare” di cui è responsabile Silvia Sbaragli.
• 23 novembre: Fibonacci Day 2021. Da qualche anno il 23 novembre si festeggia il Fibonacci Day (che, ricordiamo per i più distratti, nei paesi anglosassoni si scrive come 11/23, ossia i primi 4 termini della successione di Fibonacci). Luca Balletti matematico e divulgatore dell’Unità Comunicazione e Relazioni con il Pubblico del Cnr ci presenta alcuni spunti per possibili animazioni scolastiche dedicate a questo grande matematico italiano.
• Stand-up Maths: matematica e comicità. Dopo 3blue1brown e il math-segnale, Alberto Saracco ci racconta un altro canale YouTube che trova particolarmente interessante e divertente: Stand-up Maths.
• La ballata del cambio di base (ovvero come raccontare/insegnare la matematica giocando con le canzoni). La matematica per molte persone rimane una “bestia nera”: sembra fredda e spietata, difficile e astrusa… Molti ammettono di non essere in grado di comprenderla, o addirittura se ne vantano. Paura della difficoltà tecnica? Blocco psicologico? In ogni caso, scherzarci o cantarci sopra può essere un bel modo per esorcizzare queste reazioni! Ce ne parla Francesco Malaspina.
• Mathematical Graffiti # 13 – La casa di Orlicz. Władysław Orlicz (1903-1990) è stato un matematico polacco del ventesimo secolo appartenente alla scuola di Lwów e attivo nei campi dell'analisi funzionale e della topologia. Stefano Pisani ci racconta un episodio della sua vita.

Per la categoria LETTURE MATEMATICHE:

• Molly e i misteri matematici. Brevi consigli per letture matematiche. "Molly e i Misteri Matematici" di Eugenia Cheng, illustrato da Aleksandra Artymowska, consigliato da Roberto Natalini.
• In Pursuit of the Traveling Salesman, William J. Cook. Continuiamo con la serie delle Letture Matematiche. Dopo l’articolo di qualche giorno fa sul Traveling Salesman Problem a cura di Marco Menale, oggi vi proponiamo una recensione di “In Pursuit of the Traveling Salesman”, un libro interamente incentrato proprio sul problema del commesso viaggiatore, a cura di Alice Raffaele.
• 123 della felicità, Patricia Hegarty (#ioleggoperché). In occasione dell’iniziativa #ioleggoperché, Alice Raffaele suggerisce “123 della felicità” di Patricia Hegarty, una lettura matematica per piccolissimi.
• In un volo di storni, Le meraviglie dei sistemi complessi, Giorgio Parisi. È stato pubblicato dall’editore Rizzoli un libro a carattere divulgativo del fisico Giorgio Parisi. Lo ha letto per noi Marco Menale.

Abbiamo infine LA LENTE MATEMATICA, una rubrica di Marco Menale

• Selezione avversa: un problema per gli algoritmi. Il problema della selezione avversa può compromettere i risultati di un algoritmo basato sul machine learning.
• Problemi matematici: il commesso viaggiatore. il problema del commesso viaggiatore interessa da anni la comunità matematica. La semplice formulazione nasconde delle enormi difficoltà computazionali.

Annalisa Santi propone La matematica e la libertà di negare, in cui, citando il filosofo e matematico Imre Toth, si parla delle geometrie non euclidee e delle possibilità, per il matematico, di indagare strani e nuovi mondi. La matematica è l’espressione di una libertà umana che si manifesta nella creazione di mondi, e non dimentichiamo che oltre alle geometrie non euclidee classiche esiste anche la geometria di Manhattan (o di Torino, per gli italiani).

Abbiamo poi Alberto Saracco, a cui ho chiesto un paio di video in cui ha parlato di scacchi (e di Zio Paperone, e di Sissa Nassir). Eccoli qua:

• Un matematico prestato alla Disney 1.
• Un matematico prestato alla Disney 25.

Chiude il Carnevale Gianluigi Filippelli, con il Ritratto dedicato ad Ada Lovelace, collaboratrice di Charles Babbage nonché colei che è oggi ritenuta come la prima programmatrice della storia!

Proseguiamo, quindi, con la serie dei Rompicapi di Alice:

• Generatore di labirinti, dove si occupa di un particolare algoritmo di generazione dei labirinti.
• Conquiste a colori, una puntata un po' particolare della serie in cui si è dedicato ad alcuni giochi particolari di genere strategico.

Nella serie dei Paralipomeni presenta poi le soluzioni di alcuni dei rompicapi proposti nella serie dei Rompicapi!. Ecco gli ultimi due Paralipomeni usciti:

• Un incontro sul fiume, dedicato a un problema di un fiume e due battelli che lo attraversano.
• L'orologio di Kruskal, dedicato a un particolare rompicapo variazione del Kruskal count.

Tra le recensioni un giallo, I delitti del labirinto cinese di Robert Van Gulik, interessante per la presenza di un paio di labirinti nella trama.

Ne Le grandi domande della vita ecco Un Mercurio sorprendente, in cui la parte più vicina alla matematica è quella iniziale dedicata alla questione su quale sia il pianeta più vicino alla Terra.

Infine, alcuni articoli non appartenenti a nessuna categoria (o appartenenti alla categoria della mancanza di categoria):

• Una indistinguibile decima sinfonia, dove racconta qualcosa sul completamento della decima sinfonia di Beethoven da parte di un'intelligenza artificiale a partire dagli appunti sparsi lasciati dal maestro.
• Per fortuna non è venerdì, un articoletto sul numero 17.
• Dante divulgatore, articoletto di presentazione del podcast CosmoBrain dedicato a Dante Alighieri in cui si è parlato anche di matematica e geometria. E non dimentichiamo il fatto che Dante ha citato, nella Divina Commedia, la leggenda relativa al gioco degli scacchi.

Bene, il Carnevale finisce qua. Non mi rimane che ricordare che il Carnevale di gennaio verrà ospitato da Leonardo Petrillo, sul blog Scienza e Musica, con tema "Matematica della vita e vita nella matematica" (tema che, naturalmente, nessuno rispetterà).