Il teorema cinese del resto spiegato ai bambini

Mamma Orsa, Babbo Orso e Piccolo Orso se ne stavano tornando verso casa dopo una piacevole passeggiata nel bosco.

Passando vicino a un cespuglio di more, Piccolo Orso si accorse di una serie di impronte: erano di uno strano animale, ma visto prima di allora.

«Vado io per prima!», esclamò Mamma Orsa, posizionandosi sulla quinta impronta un po' preoccupata.

«Tu stai nel mezzo, Piccolo Orso», disse Babbo Orso a Piccolo Orso che, obbediente, si mise sulla terza impronta.

«Io starò in fondo alla fila», concluse Babbo Orso, sistemandosi sulla prima impronta.

Mamma Orsa si incamminò lungo il sentiero; ogni suo passo era lungo tanto quanto la distanza tra 7 delle piccole orme presenti sul terreno.

I passi di Piccolo Orso erano invece più corti: ognuno di essi copriva la distanza di 5 piccole orme.

Babbo Orso era quello che faceva i passi più lunghi: addirittura 9 orme.

«Ehi, mamma!», chiamò Piccolo Orso, «se vai così in fretta non riesco a starti dietro».

«Non ti preoccupare, Piccolo Orso», rispose Mamma Orsa, «ti aspetto».

«Ma io vorrei venire vicino a te!», disse Piccolo Orso.

«E perché non ci riesci? Non sto andando veloce», domandò Mamma Orsa.

«Eh, perché i miei passi non sono mai pari ai tuoi. Arriveremo mai sulla stessa impronta di questo strano animale?», domandò curioso Piccolo Orso. «Vorrei che anche il Babbo fosse vicino a noi».

«Sono qui dietro, Piccolo Orso», lo rassicurò Babbo Orso, «non ti preoccupare. Vuoi fare un gioco?».

«Uh, sì, sì!», rispose contento Piccolo Orso. «Come si gioca?».

«Giochiamo a indovinare quando riusciremo ad essere tutti vicino alla Mamma», la buttò lì Babbo Orso, cercando di camuffare un problema matematico in un gioco per bambini.

«Babbo, non mi freghi! Questo non è un gioco, è un problema!», rispose Piccolo Orso che, anche se era ancora piccolo, non era uno sprovveduto.

«Ma sì, è uno dei soliti problemi di tuo padre», intervenne Mamma Orsa, «per lui sono giochi, non capisce bene la differenza tra le due cose. Lascialo fare, magari è divertente».

«Va bene», disse rassegnato Piccolo Orso. «Siamo sicuri che io posso arrivare di fianco alla Mamma? Perché mentre io faccio un passo da 5 impronte, lei ne fa uno da 7, rimango sempre indietro di 2 impronte!».

«Hai ragione, Piccolo Orso», gli rispose Babbo Orso, «ma ricordati che puoi anche fare una corsetta: se invece di un solo passo ne fai due, non rimani più indietro di 2 impronte, ma sei in vantaggio di 3!».

«Hai ragione, Babbo!», commentò felice Piccolo Orso.

«Allora», continuò Babbo Orso, «ricordati che quando sei partito eri, rispetto alla Mamma, indietro di 2 impronte. Col primo passo la vostra distanza è aumentata a 4 impronte, poi a 6. Ecco fatto!».

«Cosa?», domandò Piccolo Orso.

«Se la distanza è di 6 impronte, puoi raggiungere la Mamma facendo per due volte una corsa: se per ognuno dei due successivi passi della Mamma tu ne fai due, guadagni ogni volta 3 impronte, e quindi riesci a raggiungerla», spiegò Babbo Orso. «Riesci a dirmi a che punto vi incontrerete?».

«Credo di sì», rispose Piccolo Orso, pensieroso. «Devo fare in tutto sei passi, per un totale di 30 impronte. Ero partito dalla numero 3, quindi la incontrerò alla numero 33, giusto?».

«Giusto! Sei stato molto bravo, Piccolo Orso! La Mamma ha fatto invece in tutto quattro passi, per un totale 28 impronte. Era partita dalla numero 5, quindi anche lei arriva alla numero 33», rispose Babbo Orso.

«E tu riuscirai a raggiungerci, Babbo?», domandò Piccolo Orso.

«Certo», rispose Babbo Orso. «Vedi, dall'impronta 33 in poi tu e la Mamma è come se vi muoveste insieme con un grande passo lungo 35 impronte».

«Davvero?», domandò ancora Piccolo Orso.

«Eh, sì. La Mamma fa passi lunghi 7 impronte, tu fai dei passi lunghi 5, allora sette passi dei tuoi corrispondono a cinque dei suoi e a un totale di 35 impronte», spiegò Babbo Orso. «Allora, io invece faccio passi lunghi 9 impronte, e quindi ogni quattro passi percorro una distanza di 36 impronte».

«Una più di noi!», esclamò Piccolo Orso.

«Proprio così. Quindi, pian piano, riesco a raggiungervi», concluse Babbo Orso. «Sono partito dalla impronta numero 1, poi sono arrivato alla 10, poi alla 19 e alla 28. Se voi siete alla numero 33, quanti passi dovrò ancora fare per recuperare la mia distanza?».

«Cinque per quattro!», rispose Piccolo Orso. «Cioè venti, e arriverai di fianco a noi!».

«Bravissimo, Piccolo Orso!», esclamò contento Babbo Orso, «dopo venti passi avrò percorso 180 impronte. Dato che ero partito dalla numero 28, arriverò alla 208».

«E io e la Mamma avremo fatto cinque passi giganti da 35 impronte», concluse Piccolo Orso, «e saremo arrivati alla casella 175+33, cioè alla 208. E saremo finalmente tutti insieme!».

«Bravo, Piccolo Orso. Cammina adesso, altrimenti la Mamma non la raggiungiamo più».

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Mamma Orsa, Babbo Orso e Piccolo Orso hanno applicato quello che i Veri Matematici chiamano teorema cinese del resto.

Hanno cioè risolto il sistema composto dalle seguenti tre equazioni:

x = 3 mod 5,
x = 5 mod 7,
x = 1 mod 9.

Wikipedia riporta la formula risolutiva universale, ma il metodo utilizzato dalla famiglia Orsi è più carino e comprensibile.

Il tutto proviene da una discussione su Quora, figure comprese.