«Applichiamo il principio di inclusione-esclusione alla soluzione di questo quesito: sapendo che ci sono 168 numeri primi minori di 1000, quanti sono i numeri primi da ingegnere minori di 1000? Con numero primo da ingegnere intendiamo ogni numero composito non divisibile per 2, per 3 e per 5».
«Poveri ingegneri…».
«Ma no, hanno le spalle robuste. Poi, con le calcolatrici si sbagliano anche meno, adesso».
«MA DAI!».
«Ok, ok, la smetto. Risolviamo il quesito, allora?».
«Forse è meglio. Da dove cominciamo?».
«Cominciamo a contare: quanti sono i numeri divisibili per 2 minori di 1000?».
«Facile, 500».
«Sbagliato! Minori di 1000, non minori o uguali!».
«Ah. Allora, ci sono 999 numeri minori di 1000, quelli pari sono 499».
«Oh, andiamo meglio. Bisogna prendere la parte intera inferiore di 999/2, cioè bisogna buttare via i decimali senza approssimare».
«Ho capito».
«Quanti sono, allora, i numeri divisibili per 3 minori di 1000?».
«Sono la parte intera inferiore di 999/3, cioè 333».
«E quelli divisibili per 5?».
«Sono la parte intera inferiore di 999/5, cioè 199».
«Perfetto. È come se avessimo tre insiemi A, B e C, tali che |A| = 499, |B| = 333 e |C| = 199».
«Ah, ho capito: per trovare i numeri divisibili per 2, 3 oppure 5 non possiamo semplicemente sommare questi valori, perché alcuni numeri verrebbero contati due volte. Per esempio 6 sta sia in A che in B».
«Proprio così, dobbiamo quindi sottrarre |A∩B|, |A∩C| e |B∩C|».
«Vediamo, i numeri che stanno sia in A che in B sono quelli divisibili sia per 2 che per 3».
«Cioè sono quelli divisibili per 6».
«Giusto: sono la parte intera inferiore di 999/6, cioè 166».
«Poi ci sono quelli divisibili per 2 e per 5».
«Sono quelli divisibili per 10, e sono quindi la parte intera inferiore di 999/10, cioè 99».
«E infine ci sono quelli divisibili per 3 e per 5».
«Che sono la parte intera inferiore di 999/15, cioè 66».
«Ma ancora non basta: se sottraiamo questi valori, togliamo troppo. Cosa dobbiamo riaggiungere?».
«Tutti i numeri divisibili per 2, 3 e 5, cioè quelli divisibili per 30. Sono la parte intera inferiore di 999/30, cioè 33».
«Quindi il calcolo finale che risultato ti dà?».
«Allora, vediamo: ho calcolato che ci sono 499 + 333 + 199 - 166 - 99 - 66 + 33 = 733 numeri divisibili per 2, per 3 oppure per 5».
«Quindi quanti sono i numeri primi da ingegnere?».
«Ho 999 numeri che vanno da 1 a 999; escludo 1 che non è primo e non è composito, e questo dovrebbe saperlo anche un ingegnere».
«Ah, ti metti a fare battute anche tu!».
«Ehm, mi è scappata. Dicevo, escludo 1 e mi rimangono 998 numeri. Sottraggo i numeri divisibili per 2, 3 oppure 5, che sono 733, e mi rimangono 265 numeri. Sottraggo anche i 168 numeri primi compresi tra 1 e 100…».
«Attenzione!».
«Cosa succede?».
«Tra i 168 numeri primi che stai sottraendo ci sono anche 2, 3 e 5».
«Ah, cavolo!».
«Non li puoi sottrarre due volte».
«Giusto, quindi da 265 non devo sottrarre 168, ma 165: mi rimane 100».
«Che è la soluzione giusta: ci sono 100 numeri primi da ingegnere minori di 1000».
«Sono tanti! Poveri ingegneri, chissà quanti errori faranno… Per fortuna hanno le calcolatrici».
«Per fortuna».
Bello!
RispondiElimina...e se invece che quattro insiemi ne avessimo una collezione in cui a ogni insieme faccio corrispondere un punto dell'intervallo [0,1]?
Lì le cose si fanno interessanti :)
Marco
eh...
RispondiEliminaI numeri divisibili per 2 inferiori di 1000 sono infiniti, se non si specifica di che insieme si parla. ;)
RispondiEliminaTutti i numeri negativi sono inferiori di 1000! ;)
L'obiezione + ovvia è che si parli di numeri da ingenere, quindi se i numeri negativi non lo sono, cosa che non so. Parla di un insieme specifico in ogni caso i numeri >1 e <1000
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