Crivelli — 3: contare i punti su una griglia

«Allora, dobbiamo astrarre il crivello di Eratostene?».

«Esatto. Ragioniamo in questo modo: cosa significa che un numero è primo?».

«Che ha solo due divisori distinti, giusto?».

«Ottimo, vedo che ti ricordi».

«Certo che mi ricordo!».

«Va bene. Quindi un numero che non è primo ha più di due divisori distinti».

«Certo».

«Quindi i numeri primi sono tali per cui l'equazione xy = p ha due sole soluzioni».

«Ecco che complichiamo…».

«Eh, sì. Mentre per i numeri non primi l'equazione xy = p ha più di due soluzioni».

«Aspetta un momento: dici che per i numeri primi quell'equazione ha solo due soluzioni perché puoi scambiare di posto x e y, vero? Cioè, 7 è uguale a 1 moltiplicato 7 oppure a 7 moltiplicato 1. Ho capito bene?».

«Hai capito benissimo. Ora, che curva è quella che ha equazione xy = p, con p costante, x e y variabili?».

«Una… iperbole?».

«Ottimo. Allora guarda come ti traduco la definizione di numero primo: un numero p è primo se esistono solo due punti a coordinate intere positive che appartengono all'iperbole xy = p».

«Mamma mia, che depravazione mentale. Comunque è giusto, sì».

«E, al contrario del mio prof di geometria, io ti faccio anche un disegno, con p = 5».

«Bello, hai disegnato la griglia dei numeri interi».

«Già, come vedi gli unici punti della griglia che vengono toccati dall'iperbole sono (1,5) e (5,1)».

«Carino».

«Se invece il numero non è primo, i punti che vengono toccati sono più di due. Ecco per esempio xy = 12».

«Sei punti».

«Sì, saranno sempre in numero pari, a causa della simmetria; a meno che il numero non sia un quadrato: in quel caso sono dispari».

«Ok. Fin qua ci sono».

«Bene, allora diciamo che il crivello di Eratostene funziona contando i numeri interi positivi che sono soluzioni dell'equazione xy = p, o, per dirla come dicono i Veri Matematici, funziona analizzando i valori della forma quadratica riducibile xy».

«Ed ecco l'astrazione incomprensibile. I Veri Matematici fanno almeno la figurina dell'iperbole, per fare capire di cosa si sta parlando?».

«Naturalmente no».

«Capirai».

«E ora che abbiamo astratto, ragioniamo in questo modo: potremmo forse cambiare la forma quadratica che stiamo utilizzando, per velocizzare un po' i conti?».

«Boh? Possiamo?».

«Possiamo, ma complichiamo. La semplicità del crivello si perde un po'».