sabato 16 febbraio 2013

Internet, video, trigonometria e mappe

Ha preso un po' di video che mostrano la luce prodotta dalla meteora russa, ha studiato le ombre, ha calcolato l'inclinazione, ha riportato il tutto su google maps e ha calcolato la traiettoria del bolide. Poi ha reso pubblico il suo lavoro su Ogle Earth.

Con risorse alla portata di tutti, matematica compresa.


lunedì 11 febbraio 2013

Ergodicità

Vediamo come risolvere il problema delle prime cifre delle potenze di 2. Se facciamo qualche conto, analizzando i primi valori, ci sembra che la cifra 7 sia molto rara. Per esempio, questa è la tabella di frequenza per le prime 50 potenze:

1: 15
2: 10
3:  5
4:  5
5:  5
6:  4
7:  1
8:  5
9:  0

Siamo riusciti a dare una risposta alla prima domanda: la cifra 7 compare almeno una volta, infatti

246 = 70368744177664.

Ora: come possiamo andare avanti nell'analisi per capire se sia più frequente la cifra 7 o la cifra 8? Qui c'è da fare qualche calcolo, se non ne avete voglia scendete un pochino, fino alle figure.

Una generica potenza di 2 potrebbe essere scritta in questo modo:

2n = k·10r + h·10r-1+…

(insomma, ho messo in evidenza la prima cifra, k, che è l'unica che ci interessa). Quindi possiamo dire anche che 2n è compresa tra k·10r e (k+1)·10r, in formule

k·10r ≤ 2n < (k+1)·10r.

Siccome ci interessano gli esponenti, passiamo ai logaritmi in base 10 (magari ricordandoci di qualche proprietà: per esempio, il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi, e il logaritmo di una potenza di 10 è l'esponente della potenza):

r + log(k) ≤ nlog2 < r + log(k+1).

Quindi siamo arrivati a questo punto: nlog2 è compreso tra due numeri composti dalla somma di r (che è un numero intero) e log(k) o log(k+1), che sono certamente numeri decimali minori di 1, dato che k è un intero compreso tra 1 e 9. In sostanza, r è la parte intera di nlog2. Bene, sottraiamolo da tutti i termini della disuguaglianza:

log(k) ≤ nlog2-r < log(k+1),

dove il termine centrale, nlog2-r, è la parte decimale di nlog2.

Adesso non dimentichiamo il fatto che stavamo analizzando le potenze del tipo 2n: quando n diventa n+1 la potenza raddoppia, ed è quindi come se noi sommassimo un termine log2 ai logaritmi (insomma, se A diventa 2A, allora log(A) diventa log(2A) = log(A) + log2).

In sostanza, stiamo studiando un sistema (un sistema dinamico, direbbe un Vero Matematico) del tipo xx + log2, ristretto all'intervallo [0,1) (questo perché stiamo analizzando solo la parte decimale di nlog2). Ogni volta che superiamo 1, buttiamo via la parte intera e continuiamo con quella decimale.

Come in un orologio.



Ed ecco che ci ricolleghiamo (meraviglia) ai punti che si muovono lungo una circonferenza. Attenzione: una circonferenza di lunghezza unitaria.

[Riassunto per chi è arrivato qui saltando i calcoli: studiare la prima cifra delle potenze di 2 è come studiare il moto di un punto che fa dei salti lunghi log2 su una circonferenza di lunghezza unitaria.]

E il logaritmo di 2 non ci sta un numero intero di volte all'interno di una circonferenza lunga uno, perché è irrazionale (come diceva .mau. in un commento al post precedente). Questo significa che anche se il punto si muove a passi discreti, riempirà in maniera densa (cioè senza lasciare spazi vuoti) tutta la circonferenza. Ecco un esempio con 20 punti:

Ed eccone un altro con 100 punti:


I Veri Matematici direbbero: comunque si scelga un archetto di lunghezza ε, questo conterrà comunque almeno un punto. Continuando l'analogia con l'orologio, possiamo anche dire che la percentuale di tempo impiegata dalla lancetta all'interno di un archetto è proporzionale alla lunghezza dell'archetto stesso (questo è il significato di ergodicità).

Ora siamo in grado di rispondere alla domanda: comparirà più spesso la cifra 7 o la cifra 8?

Per = 7, le formule trovate prima ci dicono che la parte decimale di nlog2 (cioè la lancetta dell'orologio) deve trovarsi nell'intervallo [log7, log8), di lunghezza log8 - log7 = log(8/7). Per = 8, invece, la lancetta deve trovarsi in [log8, log9), di lunghezza log9 - log8 = log(9/8). Dato che log(8/7) è maggiore di log(9/8), è più facile trovare un 7 piuttosto che un 8.

Ecco una figurina riassuntiva che visualizza le probabilità di tutte le 9 cifre:



Qualcuno ha detto legge di Benford?

sabato 9 febbraio 2013

Lissajous, chi era costui?

Qualche post fa (e ormai un paio di mesi fa) avevo parlato di onde sinusoidali, di vettori rotanti, di moti circolari uniformi e moti armonici. Torniamo sull'argomento, questa volta combinando ortogonalmente due moti armonici.




Abbiamo due punti che si muovono su due diverse circonferenze; ne proiettiamo uno in direzione orizzontale, l'altro in direzione verticale, e siamo interessati a vedere quello che succede nell'intersezione.

I punti ruotano in maniera indipendente uno dall'altro: possono avere fase diversa (cioè possono partire da qualunque posizione sulla circonferenza) e possono avere velocità angolare diversa. A seconda del valore di questi due parametri si possono osservare figure (dette figure di Lissajous) con varie caratteristiche.

Eccone qualcuna:






ed ecco un'app java per giocarci un po':




Questa è un'Applet Java creata con GeoGebra da www.geogebra.org - Java non risulta installato sul computer in uso - fare riferimento a www.java.com
È interessante notare che a volte le figure che si ottengono sono chiuse, altre volte invece no — e, in questo caso, aspettando abbastanza tempo il quadrato che le contiene verrebbe riempito completamente. Le curve che si ottengono sono chiuse solo se il rapporto tra le frequenze generatrici dei moti circolari è un numero razionale. Altrimenti non si chiudono e riempiono tutto il quadrato: in questo caso si parla di moto quasi periodico. I Veri Matematici dicono che questo tipo di moto è ergodico: la definizione precisa si trova, ad esempio, in questa pagina di wikipedia.

Una definizione più accessibile è: bello sparpagliato.

E questo mi fa venire in mente un giochino che, apparentemente, non ha nulla a che fare con quanto detto finora (ma tutto è collegato, e quando si colgono i legami è sempre bellissimo): prendiamo la successione delle prime cifre delle potenze di 2, e cioè

20  = 1
21  = 2
22  = 4
23  = 8
24  = 16
25  = 32
26  = 64
27  = 128
28  = 256
29  = 512
210 = 1024
211 = 2048
212 = 4096
213 = 8192
214 = 16384
215 = 32768
216 = 65536
217 = 131072
218 = 262144
219 = 524288
220 = 1048576
...

Compare mai la cifra 7?

Quale cifra si incontra più spesso, 7 o 8? E quanto più spesso?